Зачем мы это делаем? (Введение)

В школе вы решали уравнения вида x² - 5x + 6 = 0 через дискриминант. Но в реальной IT-разработке 90% уравнений выглядят страшно: e^x - 3x = 0 или cos(x) - x = 0. Для них не существует готовых формул.

Где это применяется?

• Игровая физика: рассчитать, где мяч пересечёт землю, если дует ветер.
• 3D-графика: найти точку, где луч света пересекает поверхность объекта (трассировка лучей).
• Финансы: вычислить реальную доходность кредита или инвестиции.
• Машинное обучение: найти минимум функции ошибки (это тоже поиск корня производной).

Этап 1: Графический метод (Зачем нужен график?)

Прежде чем писать код, который будет «угадывать» число, нужно понять, где вообще искать. Графический метод — это самый наглядный способ.

Как это работает?

Мы строим график функции y = f(x). Корень уравнения f(x) = 0 — это точка, где график пересекает горизонтальную ось Ox (ось абсцисс).

Что мы ищем на графике?

Нам нужно найти небольшой отрезок [a, b], на котором график пересекает ось ровно один раз. Именно этот отрезок мы потом отдадим компьютеру для точных вычислений.

Этап 2: Аналитический метод (Теорема Больцано — Коши)

График — это хорошо, но компьютеру нужны числа. Здесь на помощь приходит фундаментальная теорема математического анализа.

f(a) · f(b) < 0

Это условие означает, что функция «перепрыгнула» через ноль. Чтобы найти такой отрезок автоматически, мы используем метод перебора с шагом: берём точку x, считаем f(x), делаем маленький шаг вперёд, снова считаем. Если знак изменился — корень пойман!

Этап 3: Метод половинного деления (Бисекция)

Теперь, когда у нас есть отрезок [a, b], где спрятан корень, мы начинаем его «сжимать». Метод бисекции (от лат. bisectio — рассечение надвое) — самый надёжный алгоритм в численных методах.

Геометрический смысл

Представьте, что вы ищете нужный дом на длинной улице. Вы делите улицу пополам и смотрите, в какой половине нужный дом. Потом делите эту половину пополам. И так далее, пока не упрётесь в нужную дверь.

Алгоритм

1. Находим середину отрезка: c = (a + b) / 2.
2. Считаем f(c).
3. Если f(a) и f(c) разных знаков — корень в левой половине. Делаем b = c.
4. Иначе — корень в правой половине. Делаем a = c.
5. Повторяем, пока длина отрезка |b - a| не станет меньше заданной точности ε (эпсилон).

Этап 4: Метод простой итерации

Этот метод быстрее, но требует хитрости. Нам нужно переписать уравнение f(x) = 0 в виде x = φ(x) (читается «фи от икс»).

Как переписать?

Пример: x³ - x - 1 = 0. Переносим x вправо: x³ = x + 1. Извлекаем кубический корень: x = ∛(x + 1). Теперь φ(x) = ∛(x + 1).

Как считать?

Берём любое начальное число x₀ (например, 1.0). Подставляем его в φ(x) и получаем x₁. Подставляем x₁ и получаем x₂. И так далее, пока числа не перестанут меняться.

xₙ₊₁ = φ(xₙ)

Варианты заданий

Преподаватель выдаёт вам один из четырёх вариантов. Для каждого варианта уже подготовлено удачное преобразование для метода итераций, чтобы вы не тратили время на алгебру.

Задание №1. Графическая локализация

Постройте график функции f(x) на заданном отрезке и визуально убедитесь, что корень там есть.

Разбор кода

Мы используем библиотеку numpy (для быстрых математических операций с массивами) и matplotlib.pyplot (для рисования).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. Описываем нашу функцию
def f(x):
    return x**3 - x - 1  # ЗАМЕНИТЕ НА СВОЙ ВАРИАНТ!

# 2. Создаём массив из 400 точек от 0 до 3
x = np.linspace(0, 3, 400)
y = f(x)

# 3. Рисуем график
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='f(x)', color='blue', linewidth=2)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=1)  # Горизонтальная ось Ox
plt.axvline(0, color='black', linewidth=1)  # Вертикальная ось Oy
plt.grid(True, alpha=0.3)  # Сетка для удобства
plt.legend()
plt.title('График функции f(x)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.show()

Задание №2. Аналитическое отделение корней

Теперь заставим компьютер найти отрезок [a, b] автоматически, используя теорему Больцано — Коши.

import math

def f(x):
    return x**3 - x - 1  # ВАШ ВАРИАНТ

# Метод перебора с шагом 0.1
a = 0
h = 0.1
x = a

print("Таблица значений f(x):")
print(f"{'x':<10} {'f(x)':<15}")
print("-" * 25)

while x <= 3:
    fx = f(x)
    print(f"{x:<10.1f} {fx:<15.6f}")
    
    # Проверяем смену знака с предыдущей точкой
    if x > a and f(x - h) * fx < 0:
        print(f"\n✅ Корень найден на отрезке [{x - h}, {x}]")
        break
    
    x += h

Задание №3. Метод половинного деления

Реализуем алгоритм бисекции. Обратите внимание: мы используем abs(b - a) > epsilon вместо сравнения с нулём, чтобы избежать проблем с плавающей точкой (вспомните Лекцию 1 про 0.1 + 0.2).

def f(x):
    return x**3 - x - 1  # ВАШ ВАРИАНТ

def bisection(a, b, epsilon):
    step = 0
    print(f"{'Шаг':<5} {'a':<12} {'b':<12} {'c':<12} {'f(c)':<15}")
    print("-" * 60)
    
    # Цикл работает, пока отрезок больше требуемой точности
    while abs(b - a) > epsilon:
        c = (a + b) / 2
        fc = f(c)
        step += 1
        print(f"{step:<5} {a:<12.8f} {b:<12.8f} {c:<12.8f} {fc:<15.2e}")
        
        if fc == 0:
            return c  # Идеальный случай (редко бывает с float)
        elif f(a) * fc < 0:
            b = c  # Корень в левой половине
        else:
            a = c  # Корень в правой половине
    
    return (a + b) / 2

# Запуск
a, b = 1, 2  # Отрезок из Задания 2
epsilon = 1e-6
root = bisection(a, b, epsilon)
print(f"\n🎯 Корень найден: x ≈ {root:.8f}")
print(f"Проверка: f(x) = {f(root):.2e}")

Задание №4. Метод простой итерации

Теперь используем функцию φ(x) из таблицы на Слайде 7. Не забудьте импортировать math для функций cos и exp.

import math

def phi(x):
    # ВАШ ВАРИАНТ из таблицы! Например, для варианта 1:
    return (x + 1) ** (1/3)  

def simple_iteration(x0, epsilon, max_iter=100):
    x = x0
    print(f"{'Итерация':<10} {'x':<15} {'|x_new - x|':<15}")
    print("-" * 40)
    
    for n in range(max_iter):
        x_new = phi(x)
        diff = abs(x_new - x)
        print(f"{n+1:<10} {x_new:<15.8f} {diff:<15.2e}")
        
        # Условие остановки: изменение стало меньше точности
        if diff < epsilon:
            return x_new
        x = x_new
    
    print("⚠️ Метод не сошёлся!")
    return None

# Запуск
x0 = 1.0  # Начальное приближение (берём середину отрезка [a, b])
epsilon = 1e-6
root = simple_iteration(x0, epsilon)
print(f"\n🎯 Корень найден: x ≈ {root:.8f}")

Задание №5. Сравнение методов

Инженер всегда выбирает лучший инструмент. Давайте измерим, какой метод быстрее.

Как измерить время в Python?

import time

start = time.time()  # Засекаем время ДО
# ... ваш код ...
end = time.time()    # Засекаем время ПОСЛЕ

print(f"Время выполнения: {(end - start) * 1000:.2f} миллисекунд")

Таблица для отчёта

Заполните эту таблицу в своём отчёте на основе выводов консоли:

Инструкция по оформлению отчёта

Отчёт — это лицо инженера. Следуйте этому чек-листу, чтобы работа была принята с первого раза:

1. Титульный лист: ФИО, группа, номер и название практической работы.
2. Цель работы: скопируйте из Слайда 2.
3. Задание 1 (График): скриншот окна matplotlib с подписью «Рисунок 1».
4. Задание 2 (Перебор): скриншот консоли с таблицей и найденным отрезком.
5. Задание 3 (Бисекция): скриншот консоли с таблицей итераций и итоговым корнем.
6. Задание 4 (Итерации): скриншот консоли с таблицей итераций и итоговым корнем.
7. Задание 5 (Сравнение): заполненная таблица и текстовый вывод.
8. Приложение: полный исходный код всех программ (можно скопировать текстом в конец документа).

Типичные ошибки и как их избежать

Опыт показывает, что студенты чаще всего спотыкаются об одни и те же грабли. Читайте внимательно!

• ❌ Ошибка: Метод итераций «разбегается» (числа становятся огромными).
  ✅ Решение: вы неправильно выразили φ(x). Проверьте таблицу на Слайде 7 или убедитесь, что |φ'(x)| < 1.
• ❌ Ошибка: Программа зависла и не отвечает.
  ✅ Решение: вы забыли параметр max_iter в методе итераций или условие abs(b - a) > epsilon в бисекции никогда не станет ложным (например, из-за опечатки).
• ❌ Ошибка: Сравнение if f(c) == 0: в бисекции.
  ✅ Решение: с плавающей точкой это почти никогда не сработает. Всегда используйте сравнение с эпсилоном: abs(f(c)) < epsilon.
• ❌ Ошибка: Отрезок [a, b] выбран так, что f(a) и f(b) одного знака.
  ✅ Решение: метод бисекции просто не запустится. Всегда проверяйте условие f(a) * f(b) < 0 перед запуском.